分數轉化與衍生分數

分數的轉化(transformation)具有三個特徵：

1. 它不改變個人的原始分數，而是用不同的單位來表達這個分數。
2. 它考慮了原始分數本身不包含的訊息。
3. 它比原始分數以更富含訊息且容易解釋的方式來呈現個人的分數。

在以下討論的幾個分數轉化方式中，一個比一個複雜，但都具有這三個特徵。

A. 答對百分比

答對百分比(percentage correct)是最簡單的分數轉換方式，通常只用在班級內的學科測驗，而不太可能用到其他測驗上。它是與完美的表現（最高可能分數）做比較，只受個人能力高低與試題難易度的影響，其他人的表現並不會影響到個人的答對百分比。它適於用在效標參照測驗上。

答對百分比是在各種衍生分數中，唯一與教師的理想標準相比較的，在教學上很有參考價值，但千萬不要把它與百分等級相混淆了。其計算公式如下：

                   

X_%c = 100 (R / T)

X_%c = 答對百分比   

R= 個人答對題數 

T = 總題數（最高可能分數）

B. 百分位置

百分位置分數(Percent placement score)是以團體分數的全距為分母，以個人分數與團體最低分數的差距為分子，所求得的比值；換句話說，它把團體中的最高分與最低分的差距劃分成一百等份，在求個人分數在這一百等份中所佔的位置，它的最高分為100，最低分為0。此分數只是用於班級中的學科測驗，並無其他用途。與答對百分比不同的是，它是與團體的表現作比較。其計算公式為：

X_%pl = 100 (X - L) / (H - L)

X_%pl = 百分位置分數                 X = 個人原始分數

H  = 團體中最高原始分數        L = 團體中最低原始分數

C. 排名次式轉換

排名次式的轉換並不考慮團體分數的平均數與標準差，它只考慮在某一原始分數上有多少百分比的人高於（或低於）這一分數，因此使用此一轉換方式需要先製作次數分配表。

1. 排名次

將原始分數依高低排列之後，以最高者為第一名，次高者為第二名，依此類推，轉換成名次（Rank）；但若遇有相同原始分數分數則將名次加以平均後給予相同名次，例如，第10,11,12名的原始分數相同，則此三人都應該是第11名，而下一個分數則依照前面已經有多少人來賦予名次。以此排列法，若原始分數不精細，則會有多人佔有相同名次，而名次之間也會有空檔。

由於排名次只能看出個人在該團體內的相對地位，不能與其他團體的人相比較，也不能看出學生間差異的大小，所以標準化測驗上絕不可能採用。排名次的方法比較適用於依據總平均成績篩選兩極端的學生，但若經常在評量後公布全部學生的名次，不但侵犯學生的隱私權，也容易造成學生間的惡性競爭。

2. 百分等級

百分等級(Percentile rank; PR)是報導標準化測驗結果時最常用的衍生分數。它是指得到某一原始分數的人，在參照團體中能贏過百分之多少的人。

若原始資料是名次，或已經把原始分數排列成名次，那可以用公式11-6 由名次換算的百分等級。

PR =  100 (RA - 0.5) / N

N = 總人數            RA= 某人的名次

另一種情況是人數較多，難以排列名次，但已經做了次數分配，則可以計算各原始分數組中點的累積次數，再算它佔總人數的百分比。表11-3是一個小樣本的百分等級的求法。

PR =  100 (cmf - (f   x 0.5)) / N  

表2百分等級的求法

分數	次數 f	累積次數 cmf	分數中點的累積次數mcmf	百分比 %	百分等級PR
88	2	50	50 - (1×0.5) = 49.5	99%	99
87	2	48	48 - (2×0.5) = 47.0	94%	94
86	4	46	46 - (4×0.5) = 44.0	88%	88
85	2	42	42 - (2×0.5) = 41.0	82%	82
84	5	40	40 - (5×0.5) = 37.5	75%	75
83	6	35	35 - (6×0.5) = 32.0	64%	64
82	8	29	29 - (8×0.5) = 25.0	50%	50
81	5	21	21 - (5×0.5) = 18.5	37%	37
80	4	16	16 - (4×0.5) = 14.0	28%	28
79	4	12	12 - (4×0.5) = 10.0	20%	20
78	4	8	8 - (4×0.5) = 6.0	12%	12
77	3	4	4 - (3×0.5) = 2.5	5%	5
76	0	1	1 - (0×0.5) = 1.0	2%	2
75	1	1	1 - (1×0.5) = 0.5	1%	1

百分等級的優點是它很容易解釋，例如：原始分數84分的百分等級是75，表示得84分的人在該團體中贏過75%的人。但它的缺點就是在中位數附近時，即使分數差距很小，但其相對應的百分等級卻相差很大（因同分人數特別多）；但在分數分配的兩端時，卻是分數相差很大，但其對應的百分等級卻相差很小（因同分人數特別少），這現象在偏態分配上更是明顯，此外它是等級資料不能進一步做數學運算。

C. 等第式轉換

將原始分數依高低劃分成少數幾個等第是一種化約式(reductive)的轉換，換句話說，新分數比原來分數的階層數減少了許多。使用這種轉換法通常是為了：(1)簡化分數的處理，(2)降低分數差異的敏感性。

1. 標準參照式的等第轉換

標準參照式等第轉換是一種將分數對照外在標準（由專家或教師所設定）之後，再化約成等第的轉換法。在使用上常可以配合上述的「答對百分比」、「百分位置」，或者是國內班級考試常用的「百分制評分法」來設定轉換標準。例如：答對80%以上者給A ，79%-70%者給B ，69%-60%者給C ，59%-50%者給D ，50%以下者給F 。

此法在設定轉換標準時，是依據學生對教材的精熟水準及教師的經驗判斷，並不考慮每一等第應佔人數的百分比，因此並不能由其等第知道該學生在團體中的相對地位。

2. 常模參照式的等第轉換（常態化等第轉換）

常態化等第轉換是把每一個等第應佔人數的百分比，事先依據常態分配的原則（中間最多、向兩端遞減、左右對稱）設定好，然後將每個人的分數依照高低排列，再由上而下，或由下而上把每一等第塞到額滿，然後再塞下一個等第；個人所分發到的位置即此人分數轉換後的等第。

常態化等第轉換是一種團體內的相對比較法，較常見的有下列四種，下列各表中第一行是「等第名稱」，第二行是各等第的「應佔百分比」，第三行是「累積百分比」。

1. 五等第（五分制）

五等第制的常態化等第轉換是學校報告學期成績時最常用的轉換方式，但在標準化測驗中卻因為不夠精細而未被採用。

轉換後等第   F(1)    D(2)     C(3)     B(4)     A(5)

百分比           7%     24%     38%     24%       7%

累積百分比   7%     31%     69%     93%    100%

2. 標準九

標準九(Stanine score)是把所有的分數簡化成九個等級，而每一個等級所佔的人數比例是按照常態分配的原理來指派的。標準九、標準十、C量表分數都是以標準分數的樣式呈現，但在換算上是依據贏過人數百分比及常態分配原理而來，所以又稱為「常態化標準分數」（Normalized standard score），其中又以標準九最為常用。

轉換後等第   1        2       3        4        5         6       7          8          9
百分比         4%     7%   12%   17%   20%   17%   12%     7%       4%
累積百分比 4%   11%   23%   40%   60%   77%   89%   96%   100%

3. 標準十

標準十(Sten score)和標準九類似，是左右各五個單位的常態化標準分數。

轉換後等第   1      2       3         4        5       6       7        8       9         10

百分比         2%   5%    9%    15%  19%  19%  15%    9%    5%       2%

累積百分比 2%   7%   16%   31%  50%  69%  84%  93%  98%   100%

 

4. C量表分數

C量表分數(C-Scaled score)除了兩端各多出一個等第（0 和 10）之外，其餘與標準九相同。

轉換後等第  0    1       2      3       4       5       6       7       8       9       10

百分比        1%  3%   7% 12%  17%  20% 17%  12%    7%    3%     1%

累積百分比1%  4% 11% 23%  40%  60% 77%  89%  96%  99% 100%

D、線性標準分數（直線轉換）

「直線轉換」(Linear transformations)是指當所有的分數加減或乘除一常數後，各分數之間的相對位置仍然保持不變。由於將轉換前和轉換後的分數若分別以座標圖上的 X軸和 Y軸來表示（見圖11-6），則兩分數的對應關係成一直線，故稱為直線轉換，此時所加、減的常數就是該直線的截距(a) ，所乘、除的常數就是該直線的斜率(b)。

     圖 11-6  直線轉換的圖示

每一分數加減一常數之後會使平均數產生相對的移動，而乘除一常數之後會使標準差擴大或縮小；經直線轉換後的那組分數雖然平均數、標準差會有變化，但各人的相對次序仍然不變，所以常被標準化測驗用來建立統一的分數系統，以便於解釋測驗。比較常見的直線轉換分數有：z分數、T分數、AGCT分數、離差智商（DIQ)、CEEB分數。

 z 分數

z分數是最簡單，也是最基本的標準分數，它是以標準差為單位，來說明某一原始分數是位於平均數以上或以下幾個標準差的位置上。它是將每個原始分數減去一常數（平均數），再除以一常數（標準差）的直線轉換方式變成一組以平均數為 0，標準差為 1 的標準分數，其轉換公式如下：

                     zi = (Xi-M) / SD

 X = 個人原始分數

 M = 所有原始分數的平均數

SD = 所有原始分數的標準差

轉換後的分數有99％是落在＋3.0到－3.0之間， z分數因為有一半的分數是負的，且常帶有小數，與一般人對分數的概念不同，很難溝通；所以除了對專業人員外，一般都用其他的標準分數來報導。許多其他的標準分數都是以 z分數為基礎作第二次的直線轉換。下列的線性標準分數就是利用Z分數再做一次直線轉換的。

 T 分數

T 分數是最早出現的二次轉換標準分數，它將每一 z分數乘以10，以消除小數；再將每一 z分數加上50，以消除負數。它是轉換成以平均數為50，標準差為10的標準分數，其轉換公式及範例如下：

              T = 10z + 50

表 13‑3將z分數轉換成T分數的範例

z 分數                10z + 50 = T分數

z = +3.8            10(+3.8) + 50 = 88

z = +1.4            10(+1.4) + 50 = 64

z =  0.0            10(+0.0) + 50 = 50

z = -0.9            10(-0.9) + 50 = 41

z = -2.3            10(-2.3) + 50 = 27

 AGCT分數

AGCT分數是美國陸軍普通分類測驗(Army General Classification Test)所用的標準分數系統，其他性向測驗（如通用性向測驗GATB）也採用。它是轉換成以平均數為100，標準差為20的標準分數，其轉換公式如下：

          AGCT = 20z +100

離差智商

早年所謂的智商是比率智商 (ratio IQ)，它是心理年齡和實足年齡的比值。而離差智商(Deviation IQ., DIQ)才是現代各種智力測驗所常用的分數系統，它是轉換成以平均數為100，標準差為15（如：魏氏智力量表）的標準分數。魏氏離差智商的轉換公式如下：

         D.I.Q. = 15z +100

CEEB分數（或稱ETS分數）

CEEB分數是美國大學入學考試委員會（College Entrance Examination Board)所使用的一種分數系統，而美國測驗服務社（Educational Test Service）的各類大型測驗（如：SAT、GRE、TOEFL等）也使用此一分數系統來報導測驗結果。它是轉換成以平均數為500，標準差為100的標準分數，其轉換公式如下：

CEEB = 100z + 500

由於大型測驗中受測人數眾多，擴大標準差和平均數的數值可以大量減少同分的人數。

E、常態化標準分數（面積轉換）

常態化標準分數(normalized standard scores)的轉換方式不是採用直線轉換，而是採用面積轉換(area transformation)，其轉換步驟如下：

1.先就每一個原始分數，依據到其組中點的累積人數，換算成百分等級。

2.使用「常態分配下 z分數與百分等級對照表」（見附錄一）查出與該百分等級對應的z分數。另一方法是把百分等級除以100，化成小數，把它當作常態曲線下不同z分數左端的面積，然後查「z分數與常態曲線下面積對照表」（見一般統計學教科書之附錄），找出其對應的z分數。

3.利用查表所得的 z分數經由前述之公式再轉換成T分數、AGCT分數、離差智商等。

直線轉換是直接以平均數、標準差來求 z分數，所以原始分數的分配若是偏態的，經轉換後的標準分數分配仍是偏態的。但是常態化轉換是先換成百分等級，再查表換成在常態分配下對應的 z分數，所以經轉換後的標準分數的分配一定是常態的。

當受測團體太小或分數分配有明顯的偏態時，改採用常態化標準分數更容易進行分數的解釋和比較。早年國內各個師範學院結業生分發服務時，先將各師院各學系學生的結業平均成績先在該系中轉換成常態化 T分數，再將它放入全省結業生中做比較，即為最好的例子。

圖 13‑1常態分配下各種衍生分數的關係